1.0Fortune Insighthttps://prime.fortuneinsight.com/web曾國平教授https://prime.fortuneinsight.com/web/posts/author/byrontkprich600338<blockquote class="wp-embedded-content"><a href="https://prime.fortuneinsight.com/web/posts/521280">千字文解學術文（十）：一條影響深遠的曲線</a></blockquote> <script type='text/javascript'> <!--//--><![CDATA[//><!-- !function(c,d){"use strict";var e=!1,n=!1;if(d.querySelector)if(c.addEventListener)e=!0;if(c.wp=c.wp||{},!c.wp.receiveEmbedMessage)if(c.wp.receiveEmbedMessage=function(e){var t=e.data;if(t)if(t.secret||t.message||t.value)if(!/[^a-zA-Z0-9]/.test(t.secret)){for(var r,a,i,s=d.querySelectorAll('iframe[data-secret="'+t.secret+'"]'),n=d.querySelectorAll('blockquote[data-secret="'+t.secret+'"]'),o=0;o<n.length;o++)n[o].style.display="none";for(o=0;o<s.length;o++)if(r=s[o],e.source===r.contentWindow){if(r.removeAttribute("style"),"height"===t.message){if(1e3<(i=parseInt(t.value,10)))i=1e3;else if(~~i<200)i=200;r.height=i}if("link"===t.message)if(a=d.createElement("a"),i=d.createElement("a"),a.href=r.getAttribute("src"),i.href=t.value,i.host===a.host)if(d.activeElement===r)c.top.location.href=t.value}}},e)c.addEventListener("message",c.wp.receiveEmbedMessage,!1),d.addEventListener("DOMContentLoaded",t,!1),c.addEventListener("load",t,!1);function t(){if(!n){n=!0;for(var e,t,r=-1!==navigator.appVersion.indexOf("MSIE 10"),a=!!navigator.userAgent.match(/Trident.*rv:11\./),i=d.querySelectorAll("iframe.wp-embedded-content"),s=0;s<i.length;s++){if(!(e=i[s]).getAttribute("data-secret"))t=Math.random().toString(36).substr(2,10),e.src+="#?secret="+t,e.setAttribute("data-secret",t);if(r||a)(t=e.cloneNode(!0)).removeAttribute("security"),e.parentNode.replaceChild(t,e)}}}}(window,document); //--><!]]> </script><iframe sandbox="allow-scripts" security="restricted" src="https://prime.fortuneinsight.com/web/posts/521280/embed" width="600" height="338" title="“千字文解學術文（十）：一條影響深遠的曲線” — Fortune Insight" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" class="wp-embedded-content"></iframe>https://prime.fortuneinsight.com/web/wp-content/uploads/2021/03/NS-pic.jpg1280720大家都懂得孳息曲線(yield curve)：將國債息率由短期至長期排列，大部分時間都是向上斜，亦即長期利率比短期利率高。此外，曲線不是直線，大部時間都是彎彎曲曲的，有各種的怪形狀。(根據定義，孳息曲線不一定指國債，但由於只有國債才由短至長都有發行，有足夠數據，所以我們通常不會說「國債孳息曲線」。) 在疫情之前，美債的這條曲線一度近乎向下斜；疫情後一年，這條曲線又忽然變成向上斜。這條每天都移來移去兼變形的曲線，到底可以如何形容呢？ 在上世紀80年代，華盛頓大學就有兩個學者Charles Nelson和Andrew Siegel，寫了一篇看似很技術性的文章，提出一個簡單去形容孳息曲線的方法。Nelson是我在研究院時的老師之一，而我後來的博士論文，也多少與這篇文章有關。 Nelson, Charles R., and Andrew F. Siegel. “Parsimonious modeling of yield curves.” Journal of business (1987): 473-489. 顧名思義，兩位學者志在精簡(parsimonious)。他們提出的方程式，的確簡約，只需要用三個數字，就能形容絕大部份孳息曲線可以出現的形狀。 R(m) = beta_0 + beta_1 [(1-exp(-m/T))/ (m/T)] + beta_2 [(1-exp(-m/T)) / (m/T)  – exp(-m/T)] 方程式的左邊，是利率R，而括弧中的m，就是利率的年期，例如6個月的國債，m就等如6了。 方程式的右邊比較複雜。首先有三個數字beta_0、beta_1、beta_2，就是視乎曲線形狀而要選擇的數字。至於T，通常的做法是將其固定在16左右，對曲線的形狀有點影響，但不太重要。那個叫exp的東西，亦即exponential function，中文稱指數函數，大家不用知道是什麼，是要懂得在Excel使用就夠了。 舉個例子，若果beta_0=3、beta_1=-2、beta_2=0.5，年期由1個月畫到120個月，我們就會得到以下這幅圖。 從圖中可見，最短的利率大概由1%開始，而隨著年期漸增，利率向上斜，漸漸趨向3%。曲線之所以由1%開始，以3%告終，全因為我們選擇的數字。beta_0代表的最長期利率(當m趨向無限)，而最短期利率則為beta_0和beta_1相加(當m趨向零)。因此，beta_1其實是曲線的斜度，是負的話，長息比短息高，曲線就向上斜，是正的話，長息比短息低，曲線就向下斜了。 至於另一個數字beta_2，就比較難明一點，代表是曲線的弧度，若果我將beta_2增加至2，上圖就會彎得更誇張： 神奇之處，在於我們可以將beta_2定為負數，造成更奇怪的形狀，例如若果beta_2等如-4，我們就可以製成所謂的hump-shaped孳息曲線。 大家可以用Excel試玩一下，改變三個數字，就可得出千變萬化的曲線。 實際應用，若果我們手上有一堆利率數據，例如某個交易日由一個月到十年的債息，這個模型就可以派上用場，用三個數字總結當日的孳息曲線。意想不到的，是無論當日的利率數據有多奇怪，三個數字大都可以應付得到，將數據非常準確地「串連」在一起。 三個數字都有清楚作用，因此都有名堂。決定長債高低的beta_0，後來就叫做level，決定整條曲線的高低。描述斜度的beta_1，自然就叫做slope了。至於那個beta_2，主要在曲線中間發揮作用，稱為curvature。 這個精簡的方法，影響深遠，直到現在仍被普遍採用。對經濟學者來說，這三個數字更有特殊含義：level跟通漲預期有關係，其餘兩個數字又跟貨幣政策和盛衰周期有關，可以大造文章，分析宏觀經濟和孳息曲線的互動。 這篇文章用的數學不難，那條方程式也不是什麼新事物，只是沒有人想過可以將其跟孳息曲線扯上關係，將一大堆的利率歸納為三個數字。無比簡單，連行外人也懂得使用，因此就成為經典了。